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エレベーター内で体重計が増減する理由,ニュートンの運動法則

エレベーターが動き出した僅かな間ですが、エレベーターで上階へ昇るときには下から押されるような、下階に降りるときには浮くような気がしませんか。
エレベーターに乗っている人に掛かっている力で先ず思いつくのは重力(gm)です。 ただし、mは人の質量。gは重力加速度、地球上でも場所によって値は僅かに異なりますが、9.8m/S/Sです。
重力だけでは落ちてしまいますが、床があるので落ちません。力で考えると、床からは垂直抗力(f)が上向きに人に働いているので落ちないのです。
静止している人には、この二つの力、重力と垂直抗力だけが掛かっています。
人に作用している重力と抗力の模式図

ここで、ニュートンの運動の法則を思い出してください。
慣性の法則は「外力が働かなければ、静止しているものは静止続け、動いている物はそのままの速度で動き続ける」というものです。
運動方程式は、力=加速度×質量 というものです。
質量が有る物を動かすには力が必要で、質量が大きいほど、動かす程度が大きいほど、 大きな力が必要だという日常経験から理解できる事を表しています。
そして、最後は、作用反作用の法則です。これは、物に力を加えると、加えた物から同じ大きさで向きが反対の力を返されるというものです。 たとえば、手で机を叩くと、手が痛いのは反作用で手も打たれたからです。

今、エレベーターに乗っている人(質量m)が加速度αで上に動いているとします。ただし、上方向をプラス、下方向をマイナスとします。
このときに必要な力Fは運動方程式から
F=αm・・・式1
エレベーターに乗っている人には、床からの上向きの抗力fと下向きの重力gmが働いているので二つを合わせると
f−gm
この合わせた力で質量mの人が加速度αで動いているのですから
F=f−gm・・・式2
式1と式2は等しいので
αm=f−gm
人が速度を変化させながら動いているときの加速度αは
α=(f−gm)÷m ・・・式3

エレベーターが静止しているときは人も静止しているので、慣性の法則から加速度αは0でなければなりませんから、 式3で、加速度αを0にするためには、
f−gm=0
f=gm
加速度0は、等速で上昇または下降しているときにもあります。
ですから、エレベーターが静止しているときと、等速で上昇下降しているときは、 床から人に働いている抗力fは重力gmに等しくなります。

エレベーターが加速して上昇しているときは加速度αはプラスなので
f−gm>0
ですから
f>gm
となって、人は床から重力より大きな力を上向きに受けることになります。
人がエレベーター内で体重計に載っていれば体重計の指示値は大きくなります。

同様にエレベーターが加速して下降しているときは、
f−gm<0
ですから
f<gm
となって、人は床から重力より小さい力を上向きに受けます。
体重計の指示値は小さくなります。

エレベーター内に体重計を持ち込んで確かめるのは恥ずかしいので、 手のひらに載る小さなキッチン秤で下写真の様にして秤ごと上下させてみる か、 エレベーター内にこのような小さな秤と重りを持ち込めば確かめられます。
エレベーター内で体重計の指示値が変わる実験
エレベーターの床が抜ける、または、エレベーター本体を支えているものが切れたりして、床と人が離れると 抗力fが0になり、加速度α=−gとなって人は自由落下してしまいます。

ニュートンの運動法則の「作用反作用の法則」は出番がありませんでしたが、作用反作用は、力を与えた物と力を受けた物の間で作用するもので、 地球が人に与えた重力(gm)の反作用は、人が地球に与えています。
床が人に与えた抗力(f)の反作用は、人が床に与えています。

ですから、人が昇降しても作用反作用の関係、すなわち、大きさが同じで向きが反対の力を返すという法則は崩れていません。





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