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自由落下と空気抵抗を考慮したときの落下速度を微分方程式で求める方法

微分方程式は自然現象を解明するのには不可欠ですが、とっつきが悪い代物です。微分方程式は鉛筆なめなめでは解けないものが多いのですが（解けないのでスーパーコンピューターが必要になる）、解けるものもテクニックを知らないと解けません。
そこで、備忘録を兼ねて微分方程式で簡単な現象を表してみます。

自由落下のときの速度を求める

質量ｍの物を落としたときのt秒後の速度vを求めたい。ただし、空気抵抗は無いとします。
ニュートンの運動法則の２によれば、「物体に働いている力$F$は、その物体の質量$m$に加速度$a$を掛けたものに等しい」ので、 $$ F = am \tag{1} $$ 求める速度$v$が入っている式を探すと、加速度$a$は速度$v$を時間$t$で微分したものなので、 $$ a = \frac{dv}{dt} \tag{2} $$ 式１の$a$を式２で置き換えると、 $$ F= m \frac{dv}{dt} \tag{3} $$ 質量$m$の物には重力$-mg$の力が働いているので、式３の$F$は$-gm$になり、式３は $$ -gm = m \frac{dv}{dt} \tag{4} $$ 式４の両辺を$m$で割って $$\frac{dv}{dt} = -g \tag{5} $$ 微分方程式の式５を解けば速度$v$が求められます。

式３の微分方程式を解くのは簡単です。時間$t$で微分したら式５になる式が答えなので式６になります。 $$ v = -gt + C \tag{6} $$ ただし、$C$は定数（この場合は初速）
式６は定数を含んでいるので、一般解です。
求めた一般解に、条件を与えます。力を加えずに落とした時の初速$C$は$0$なので、式６は $$ v = -gt \tag{7} $$ となります。初速$0$という条件での解なので特殊解です。

空気抵抗を考えたときの落下速度を求める

落下するときに空気抵抗を考えると、落下する物には重力$ -mg $と落下する向きとは逆に$ bv $の力が加わります。
ただし、bは空気抵抗係数です。
空気抵抗があるときの自由落下の説明図
式４は、 $$ bv - gm = m \frac{dv}{dt} \tag{8} $$ となります。両辺を$m$で割って $$ \frac{dv}{dt} =v \frac{b}{m} -g \tag{9}$$ 式９を$v$について解くのは式５とは異なって面倒です。
式９のような形になっているものを１階線形微分方程式と呼びます。
式の名前などどうでもよい、と思えなくなるのが微分方程式の厄介なところで、式の形によって解き方の常套手段があります。
空気抵抗を考えたときの一般解は $$ v = Ce^{-\frac{b}{m}t} -\frac{mg}{b} \tag{10} $$ ただし、Ｃは定数。
力を加えずに落下させたときの特殊解を求めるには、式１０に、時間$t = 0$、初速$v = 0 $を代入して定数$C$を求め、それを式１０に代入します。

１階線形微分方程式の解き方

空気抵抗を考慮したときの微分方程式は、１階線形微分方程式になりました。
１階というのは微分を１段階行っていて、線形は$y$を含む式が直線だからです。
１階線形微分方程式の一般式は
$$ \frac{dy}{dt} = ay + b \tag{11} $$ ただし、ａとｂは定数です。

変数分離法と置換積分で解く

式１１の右辺$ay+b $を$k$とする。 $$ ay +b = k \tag{12} $$ $$ y = \frac{k}{a-b}-\frac{b}{a} \tag{13} $$ 式１３を$k$で微分する $$ \frac{dy}{dk} = \frac{1}{a} \tag{14} $$ $$ dy = \frac{1}{a} dk \tag{15} $$ 式１１はａｙ＋ｂ＝kとしたので $$ \frac{dy}{dt} = k \tag{16} $$ $$ dy = k dt \tag{17} $$ 式１７の左辺を式１５で置き換える $$ \frac{1}{a}dk = k dt \tag{18} $$ 変数を分離します。左辺を$k$、右辺を$t$で揃えます $$ \frac{1}{ak} dk = dt \tag{19} $$ 式１９の左辺を積分します $$ \int \frac{1}{ak}dk = \frac{1}{a} ln(k) + C_{1} \tag{20} $$ $C_{1}$は定数です。

式１９の右辺を積分します。

$$ \int dt = t + C_{2} \tag{21} $$ $C_{2}$は定数です
式２０と式２１から
$$ \frac{1}{a} ln(k) + C_{1} = t + C_{2} $$ $$ \frac{1}{a} ln(k) = t + C_{3}$$ $$ ln(k) = at +aC_{3} $$ $a$と$C_{3}$は定数なので $$ ln(k) = at + C_{4} $$ 対数を指数に変換する $$ k = e^{at+C_{4}} $$ $$ k = e^{at} e^{C_{4}} $$ $$ k = C_{5} e^{at} $$ $k$を$ay + b$に直す $$ ay + b =C_{5}e^{at} $$ $$ ay = C_{5}e^{at} - b $$ $$ y =\frac{c_{5}}{a} e^{at}- \frac{b}{a} $$ $$ y = Ce^{at} - \frac{b}{a} \tag{22} $$ ただし、$C_{1}$,$C_{2}$、$C_{3}$、$C_{4}$、$C_{5}$、$C$は定数です。

式２２は一般解なので、特殊解を求めるときは初期値を入れて積分定数$C$を求めてください。

「非斉次式の一般解は、斉次式の一般解及び非斉次式の特殊解の和で与えられる」という定理で解く

斉次とは次数が揃っていることです。
これから解く

$$ \frac{dy}{dt} = ay + b \tag{23} $$ は、$y$について非斉次式ですが、右辺の$b$を$0$にして $$ \frac{dy}{dt} = ay \tag{24} $$ は斉次式です。

斉次式２４の一般解は $$ \frac{dy}{dt} = ay $$ $$ \int \frac{1}{y}dy = \int adt $$ $$ ln y + C_{1}= at + C_{2} $$ $$ ln y = at + C_{3} $$ $$ y = e^{at + C_{3}} $$ $$ y = e^{C_{3}} e^{at} $$ $$ y = C e^{at} \tag{25} $$

次に非斉次式２３の特殊解を求めます。

$ ay + b = 0$ とすると、特殊解は
$ y = \frac{-b}{a} \tag{26} $$ｙ＝ーｂ／ａ　　　　　・・・式２６$$

となります。
非斉次式の一般解は、斉次式の一般解及び非斉次式の特殊解の和で与えられるのですから、
式２５の右辺に式２６の右辺を足します。

$$ y = Ce^{at} - \frac{b}{a} \tag{27} $$

変数分離法と置換積分で解いた結果が一致しました。