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自由落下と空気抵抗を考慮したときの落下速度を微分方程式で求める方法

微分方程式は自然現象を解明するのには不可欠ですが、とっつきが悪い代物です。微分方程式は鉛筆なめなめでは解けないものが多いのですが(解けないのでスーパーコンピューターが必要になる)、解けるものもテクニックを知らないと解けません。
そこで、備忘録を兼ねて微分方程式で簡単な現象を表してみます。

自由落下のときの速度を求める

質量mの物を落としたときのt秒後の速度vを求めたい。ただし、空気抵抗は無いとします。
ニュートンの運動法則の2によれば、「物体に働いている力Fは、その物体の質量mに加速度aを掛けたものに等しい」ので、
F=a m ・・・式1
求める速度vが入っている式を探すと、加速度aは速度vを時間tで微分したものなので、
a=dv/dt ・・・式2
式1のaを式2で置き換えると、
F=m dv/dt ・・・式3
質量mの物には重力-gmの力が働いているので、式3のFは-gmになり、式3は
-gm=m dv/dt ・・・式4
 dv/dt=-g ・・・式5
微分方程式の式5を解けば速度vが求められます。
この微分方程式を解くのは簡単です。時間tで微分したら式5になる式が答えなので式6になります。
v=-gt+C ・・・式6
ただし、Cは定数(この場合は初速)
式5は定数を含んでいるので、一般解です。
力を加えずに落とした時はCは0になるので、式6は
v=-gt ・・・式7
となります。初速0という条件での解なので特殊解です。

空気抵抗を考えたときの落下速度を求める

落下するときに空気抵抗を考えると、落下する物には重力-gmと落下する向きとは逆にbvの力が加わります。
空気抵抗があるときの自由落下の説明図
式4は
bv-gm=m dv/dt ・・・式8
となります。ただし、bは空気抵抗係数です。
dv/dt=b/m v-g ・・・式9
式9をvについて解くのは式5とは異なって面倒です。
式9のような形になっているものを1階線形微分方程式と呼びます。
式の名前などどうでもよい、と思えなくなるのが微分方程式の厄介なところで、式の形によって解き方の常套手段があります。
空気抵抗を考えたときの一般解は
空気抵抗を考慮したときの落下の一般解式図
ただし、Cは定数。
力を加えずに落下させたときの特殊解を求めるには、式10に、時間t=0、初速v=0を代入して定数Cを求め、それを式10に代入します。

1階線形微分方程式の解き方

空気抵抗を考慮したときの微分方程式は、1階線形微分方程式になりました。
1階というのは微分を1段階行っていて、線形はyを含む式が直線だからです。
1階線形微分方程式の一般式は
dy/dt=ay+b ・・・式11
ただし、aとbは定数です。

変数分離法と置換積分で解く

式11の右辺ay+bをkとする。
ay+b=k ・・・式12
y=k/aーb/a ・・・式13
式13をkで微分する
dy/dk=1/a ・・・式14
dy=1/a dk ・・・式15
式11はay+b=kとしたので
dy/dt=k ・・・式16
dy=k dt ・・・式17
式17の左辺に式15で置き換える
1/a dk=k dt ・・・式18
変数を分離します。左辺をk、右辺をtで揃えます
1/(a k) dk= dt ・・・式19
式19の左辺を積分します
式19の左辺積分
c1は定数です。
式19の右辺を積分します
式19の右辺の積分
c2は定数です
式20と式21から
積分して解いた1階線形微分方程式を整理する過程
ただし、C1、C2、C3、C4、C5、Cは定数です。
式22は一般解なので、特殊解を求めるときは初期値を入れて積分定数Cを求めてください。

「非斉次式の一般解は、斉次式の一般解及び非斉次式の特殊解の和で与えられる」という定理で解く

斉次とは次数が揃っていることです。
これから解く
dy/dt=ay+b ・・・式23
は、yについて非斉次式ですが、右辺のbを0にして
dy/dt=ay ・・・式24
は斉次式です。
斉次式24の一般解は
斎次式dy/dt=ayを解く過程
次に非斉次式23の特殊解を求めます。
ay+b=0 とすると、特殊解は
y=ーb/a ・・・式26
となります。
「非斉次式の一般解は、斉次式の一般解及び非斉次式の特殊解の和で与えられる」のですから、
式25の右辺に式26の右辺を足します。
斎次式の一般解と非斎次式の特殊解の和
変数分離法と置換積分で解いた結果が一致しました。