当ページと関連する話題
季節を知る日時計の作り方と円周角の定理の応用と証明
フォルバッハの旅行用日時計は変わっています。ローマの建築家ビトルビウス著作に載っているそうですが、これは太陽の高度から季節を知るものです。時計が無い古代でも何処で使うのか想像がつきません。
この季節を知る時計の原理は至極簡単明瞭です、
日常経験することですが、正午の太陽の高度は、冬は低く、夏は高いから正午の太陽高度を測れば季節と凡その月が判るというものです。
例えば、東京の毎月１日の正午の太陽高度は、２０１８年は
31.1, 37.0, 46.5, 58.5, 68.7, 75.5, 76.9, 72.0, 62.2, 50.5, 39.1, 32.0
となっています。太陽高度の値は年が変わっても１度ぐらいしか変わらないので、今が何月か凡そ判ります。
日時計でもインテリアやオブジェぐらいしか用途が無いのに凡その月が判るぐらいでは工作してもおもしろみに欠けるのですが、
中学生で習う幾何学の定理を応用したものなので、夏休みの自由研究のヒントになるのでは？と思って紹介します。
フォルバッハの旅行用日時計は下図の様に太陽光を通さない材質で作られた円筒状の１ヵ所に孔を開け、その孔から射し込む太陽光が筒の内側に当たった位置で太陽の角度を測るものです。
この季節を知る日時計の工作で最も注意することは円筒の断面を真円にすることです。
日時計に限りませんが、測定器を作る場合は目盛を刻むのに苦労します。この季節を知る日時計も太陽高度を測るだけなら円筒に開けた孔から射し込む光りという凝った事をしないでも、と思います。
ところが、円筒を使うのは角度目盛を簡単に作るためです。
下図は、太陽 S1 と太陽 S1の角度の差を求める説明図です
太陽の高度がＳ１にあった時に円筒に開いた孔ｈから射し込んだ太陽光が照らした点をＡ、同様に、太陽の高度がＳ２にあった時に照らした点をＢ、円筒の断面が作る円の中心点をＯとします。
すると、「円周角の定理」によって、弧ＡＢを共通とする円周角（∠ＡｈＢ）は、中心角（∠ＡＯＢ）の半分の角度になります。言い換えると、中心角は円周角の２倍になります。
ですから、太陽の高度Ｓ１とＳ２の差は、中心角では２倍になるので直接測るより精度が２倍で、円筒の内側に長さを刻んだ紙でも貼っておけば、Ｓ１とＳ２の差が求まります。
例えば、円筒の直径が５０ｍｍなら、円周は５０(mm)×３．１４＝１５７(mm)で約１５７ｍｍです。１５７ｍｍが３６０度ですから、１度は約０．４３ｍｍ。手書きで書くには細かすぎますし、手持ちでぶら下げて高度を測る構造ではそれほど精度が出ないですから、２ｍｍ毎に目盛を刻むことにすると、約０．８７度、中途半端です。目盛を切りよくするには円筒の直径を調節すればよいのですが、そこまでしても・・・
「円周角の定理」の証明
工作とは離れますが、意地悪な先生に突っ込まれたときの用意に、この工作「季節を知る日時計」の肝になる「円周角の定理」を証明して置きます。
- ∠ＡＯＢ＝２∠ＡｈＢを求めるように考えますが、数学の証明問題は手順を知らないと手こずる場合が多いです。
円と三角形の性質を利用するしか無いと解っていても・・・
幾何の問題は補助線を引くとうまく行く場合が多いので、とりあえず、円筒の孔ｈから中心Ｏを通った直線が円と交わる点をＣとします。
また、∠○○○という表記は頭の回転が遅い私には思考の妨げになるので、
最終的に残す円周角∠AhBを x （∠AhB=ｘ）
中心角∠AOBを y （∠AOB=ｙ）とします -
三角形OhBについて、定理「三角形の外角はそれと隣り合わない２つの内角の和に等しい（三角形の内角の和は２直角）」を使うと、
∠ＣＯＢ＝∠ＯｈＢ＋∠ｈＢＯ
三角形ＯｈＢは二等辺三角形なので、∠ＯｈＢ＝∠ｈＢＯ です。
ここでも、表記を変更して、∠ＯｈＢ＝∠ｈＢＯ＝ α とします。
ここで、円周角ｘを表してみると
ｘ＋α＝∠OｈA ・・・式１
中心角ｙを表してみると
ｙ＋２α＝∠AOC ・・・式２
∠OHAと∠AOCを α か β で表されれば、何とかなる感じ？ -
三角形ＯｈＡについて、定理「三角形の外角はそれと隣り合わない２つの内角の和に等しい」を使うと、
∠ＣＯＡ＝∠ＯｈＡ＋∠ｈＡＯ
三角形ＯｈＡは、二等辺三角形なので、∠ＯｈＡ＝∠ｈＡＯ
表記を変えて、∠ＯｈＡ＝∠ｈＡＯ＝β として、
手順２の式１ ｘ＋α＝∠OｈA は
ｘ＋α ＝β
ｘ＝β－α ・・・式３
手順２の式２ ｙ＋２α＝∠AOC は
ｙ＋２α ＝２β
ｙ＝２βー２α＝２（βーα）・・・式４
式４に式３の βーα を代入すると
ｙ＝２ｘ
表記を戻して、
∠AOB＝２∠AhB
中心角∠AOBは、円周角∠AhBの２倍になりました