棹ばかりの作り方

棒の質量をゼロとした場合、棒が水平で止まるためには、力$F_1$によって生じるモーメント$M_1$と力$F_2$によって生じるモーメント$M_2$の和がゼロになる必要があります。
$M_1=F_1{l}_1$ $M_2=-F_2{l}_2$ ただし、反時計回りを正、時計回りを負としています
棒が水平で停まるためには、$M_1+M_2=0$なので $F_1{l}_1-F_2{l}_2=0$ ゆえに、棒の質量をゼロとしたときの$F_1$は $F_1=\frac{l_1}{l_2}{F}_2$

棒（竿）には質量があるので式４のようにはいきません。
棹秤を作るのに必要な力を書き出すと下図のようになります。

支点から左側は、左側の中点にある棒の重さから生じる力と、測りたい物から生じる力の合成した力$F_{C1}$となりますが、支点の右側が難しくて（図中の？が判りません）。
棹の重さが無視できるほど、測りたい物や分銅が重ければ、上記の棹の重さを無視した計算でよいのでしょうが、重い物を吊るときは棹は頑丈な物になり自然と重くなるので棹の重さを無視するのも気になります。
そこで、ChatGPとリートンに「棹秤の目盛りを刻む計算式を教えて」と訊ねました。
答えは、梃子の原理を表す超簡単な式と詳細は材質によって異なります云々。力学が得意な方なら解いてくれるか、解き方の説明ぐらいはしてくれるでしょう。 無料サービス版だからかわかりませんが、まだ、ＡＩは使えません。

下図のような場合

支点を回転軸にして回らないためには、モーメントの和がゼロになる必要があります。
$F_{1}a-F_{r1}b=0$ ゆえに $\frac{b}{a}=\frac{F_1}{F_{r1}}$ 式６から合力が作用する点が判ります。
合力の大きさと方向は、平行なベクトルなので足せばよいです。

合成は、平行な２つの力の合力の計算で求め、この計算でこの力が作用する点$x_1$と$x_2$が求まります。 $F_{C1}{x}_1-F_{C2}{x}_2=0$ 式５が成り立つように分銅を動かせば、棹秤は水平で停止します。
計算は１００円ショップで売っている簡単な電卓で出来ますが、ちょっと面倒です。

手元にあった角棒を竿に、水を入れて重さを調整したペットボトルを分銅と測りたい物にして実験してみました。

2024年9月6日撮影
棹秤で測れる最小値は、測りたい物をぶら下げる方の棒の重さがあるので正確な値ではありませんが、目安としては分銅を吊り下げる方の棒の重さです。 この時、分銅なしでつり合います。

計算して作るより、ペットボトルに水を入れて重さを調整し、実際にぶら下げて目盛りを付ける方が簡単に作れます。
長さ９１ｃｍ、６１ｇの角材を使い

分銅代わりに水を入れて１００ｇにしたペットボトルを下げ、測りたい物にも水を入れて、６０ｇ、１００ｇ、１５０ｇ、２００ｇ、２５０ｇ、３００ｇ、３５０ｇ、４００ｇに調整したペット下げ、
$l_1$は１９ｃｍに固定して$l_2$の長さを測ってみました。
$F_2=100gw$　$l_1=19cm$

棹秤の実測表

$F_1$	$l_2$
60gw	分銅無
100gw	4cm
150gw	12.5cm
200gw	23.5cm
250gw	29.0cm
300gw	38.0cm
350gw	46.0cm
400gw	53.0cm

５０ｇ毎でも手間が掛かるのに１０ｇ毎に実測、と考えただけで気が遠くなります。