微分方程式解法入門 変数分離法
現代社会を支えているのは、微分方程式と言っても過言ではありません。
電気製品や構造物を始めとして殆どの物の設計製造は、微分方程式のお世話になっています。
微分方程式とは
傾きが 、 の の値が の直線 を考えてみます。
この直線をX-Y座標で表すと、下図になります。

定数 と の値によってこの直線は座標の何処にでも描くことが出来るので、右肩上がりで描いていますが、X軸やY軸に平行だったり、右肩下がりの直線にもなります。
この直線 を で微分すると となり、定数 だけになります。
直線を含む曲線を表す式を微分すると、その点の接線を表す式になりますから、直線 を微分したら傾きを表す だけになるのは予想通りです。
式(1)こそが、最も簡単な微分方程式です。
そして、微分方程式を解くというのは、式(1)から元の 求めることに他ならないということになります。
微分方程式 を解いてみましょう。解くと言っても、積分するだけです。 ただし、 は定数(積分定数)です。
始めに掲げた直線の式は でしたから、式(2)とbが定数Cに置き換わっています。X-Y座標上でこの直線を表すと、傾き の直線に平行な直線になります。
定数 を に置き換えれば元の直線に戻りますが、微分方程式を解くと、元の直線にあった は定数 に含まれている値の1つということになってしまいます。
それで、微分方程式を解いて得た式(2)を一般解と言い、一般解の定数 を に置き換えて得た式を特殊解と言います。
実際は元の式が判らないですから(判って居たら微分方程式を解く必要は無い)、 のときは になる場合の式として積分定数 の値を と求めます。
ここで、少し実用的な例を考えてみましょう。
高い所から質量 のビー玉を落としたとき、ビー玉の落下速度はどうなるでしょう?
ただし、重力加速度を 、空気抵抗は無いとします。
ニュートンの運動方程式 から始めます。
は力、 は質量、 は加速度です。
加速度は、速度の微分で表せるので運動方程式は
落ちているビー玉には、上方を とすると という力 が働いているので、式(3)は 両辺を で割って 式(5)の微分方程式は簡単に解けます。 ただし、 は積分定数
ビー玉を落とした 秒での速度が という条件で式(6)の積分定数 は なので、ビー玉の落下速度は と求められました。
この直線をX-Y座標で表すと、下図になります。

定数
この直線
直線を含む曲線を表す式を微分すると、その点の接線を表す式になりますから、直線
式(1)こそが、最も簡単な微分方程式です。
そして、微分方程式を解くというのは、式(1)から元の
微分方程式
始めに掲げた直線の式は
定数
それで、微分方程式を解いて得た式(2)を一般解と言い、一般解の定数
実際は元の式が判らないですから(判って居たら微分方程式を解く必要は無い)、
ここで、少し実用的な例を考えてみましょう。
高い所から質量
ただし、重力加速度を
ニュートンの運動方程式
加速度は、速度の微分で表せるので運動方程式は
ビー玉を落とした
変数分離法による微分方程式の解法
右辺に定数 と関数 がある微分方程式の解き方です。
右辺に含まれている関数 を求めるのですから大変そうです。前項の微分方程式の様に両辺を で積分することは出来ません、なぜなら は正体不明の関数だから。
そこで、 の両辺を で割り 式(9)の左辺は の影響を受けず、右辺は の影響を受けないので分離されています。
積分公式を用いて 対数指数の関係 を用いて 式(12)が一般解になります。 は積分定数です
右辺に含まれている関数
そこで、
積分公式を用いて
コンデンサーの放電を微分方程式で解く
上記の解き方が使える問題を解いてみましょう。
下図の左側の回路では充電してあるコンデンサーCとオフになっているスイッチ、抵抗Rが直列接続されています。
この回路でスイッチをオンにした時のコンデンサーに蓄えられていた電荷量Qの変化を求めたい、という問題です。

コンデンサーの容量は 、充電して溜まっている電荷量は 、抵抗の値は とします。
スイッチをオンにすると、回路内の電圧の和は になるので コンデンサーには、 = という関係あるので 抵抗の両端の電圧Rvは、オームの法則から 回路を流れる電流 i は、コンデンサーに溜まっている電荷Qの時間的変化なので、 式(13)に式(14)と式(15)を代入すると 式(17)の i を式(16)で置き換えると 式(19)は、先に解いた微分方程式 と同じ形なので変数分離法で解きます。
式(19)の両辺を で割ります。 変分離法を適用します 積分公式を用いて 対数指数公式を用いて 求めた式(20)は一般解なので、 の時の電荷量 を与えて積分定数 の値を求め、特殊解を得ます。
次は、式(21)の様に右辺の関数yが二乗になっている場合ですが、両辺をyの自乗で割って、関数yを左辺に移し、右辺は定数kだけにして、積分公式を使って解きます。
変数分離をするために両辺を で割ります。 積分公式を用いて 式(22)は微分方程式 式(21)の一般解です。 は積分定数です。
右辺が関数yの自乗の微分方程式ですが、一般解は指数や対数も無い簡単な分数式です。
下図の左側の回路では充電してあるコンデンサーCとオフになっているスイッチ、抵抗Rが直列接続されています。
この回路でスイッチをオンにした時のコンデンサーに蓄えられていた電荷量Qの変化を求めたい、という問題です。

コンデンサーの容量は
スイッチをオンにすると、回路内の電圧の和は
式(19)の両辺を
次は、式(21)の様に右辺の関数yが二乗になっている場合ですが、両辺をyの自乗で割って、関数yを左辺に移し、右辺は定数kだけにして、積分公式を使って解きます。
右辺が関数yの自乗の微分方程式ですが、一般解は指数や対数も無い簡単な分数式です。