微分方程式解法入門 変数分離法

現代社会を支えているのは、微分方程式と言っても過言ではありません。
電気製品や構造物を始めとして殆どの物の設計製造は、微分方程式のお世話になっています。

微分方程式とは

傾きが$a$、$x=0$の$y$の値が$b$の直線 $y=ax+b$ を考えてみます。
この直線をX-Y座標で表すと、下図になります。

定数$a$と$b$の値によってこの直線は座標の何処にでも描くことが出来るので、右肩上がりで描いていますが、Ｘ軸やＹ軸に平行だったり、右肩下がりの直線にもなります。
この直線 $y=ax+b$ を$x$で微分すると、
$$\dfrac{dy}{dx}=a \tag{・・・式１}$$ となり、定数$a$だけになります。
直線を含む曲線を表す式を微分すると、その点の接線を表す式になりますから、直線 $ax+b$ を微分したら傾きを表す$a$だけになるのは予想通りです。
式（１）こそが、最も簡単な微分方程式です。
そして、微分方程式を解くというのは、式（１）から元の$ax+b$ 求めることに他ならないということになります。

微分方程式 $\dfrac{dy}{dx}=a$ を解いてみましょう。解くと言っても、積分するだけです。

ここで、少し実用的な例を考えてみましょう。
高い所から質量 $m$ のビー玉を落としたとき、ビー玉の落下速度はどうなるでしょう？
ただし、重力加速度を $g$、空気抵抗は無いとします。
ニュートンの運動方程式 $F=ma$ から始めます。
$F$は力、$m$ は質量、$a$ は加速度です。
加速度は、速度の微分で表せるので運動方程式は $$F=m\dfrac{dv}{dt} \tag{・・・式３}$$ 落ちているビー玉には、上方を $+$ とすると $-mg$ という力 $F$ が働いているので、式（３）は $$m \dfrac{dv}{dt}=-mg \tag{・・・式（４）}$$ 両辺を $m$ で割って $$\dfrac{dv}{dt}=-g \tag{・・・式（５）}$$ 式（５）の微分方程式は簡単に解けます。

変数分離法による微分方程式の解法

右辺に定数 $k$ と関数 $y$ がある微分方程式の解き方です。
右辺に含まれている関数 $y$ を求めるのですから大変そうです。前項の微分方程式の様に両辺を $x$ で積分することは出来ません、なぜなら $y$ は正体不明の関数だから。
そこで、$\dfrac{dy}{dx}=ky$ の両辺を $y$ で割り、

コンデンサーの放電を微分方程式で解く

上記の解き方が使える問題を解いてみましょう。
下図の左側の回路では充電してあるコンデンサーＣとオフになっているスイッチ、抵抗Ｒが直列接続されています。
この回路でスイッチをオンにした時のコンデンサーに蓄えられていた電荷量Qの変化を求めたい、という問題です。

コンデンサーの容量は $C$、充電して溜まっている電荷量は $Q$、抵抗の値は $R$とします。
スイッチをオンにすると、回路内の電圧の和は $0$になるので。
$$CC_{v}+R_{v}=0 \tag{・・・式（１３）}$$ コンデンサーには、Ｑ＝Ｃ＊Ｃｖという関係あるので $$C_{v}=\displaystyle \frac{Q}{C} \tag{・・・式（１４）}$$ 抵抗の両端の電圧Ｒｖは、オームの法則から $$R_{v}=iR \tag{・・・式（１５）}$$ 回路を流れる電流 i は、コンデンサーに溜まっている電荷Qの時間的変化なので、 $$i=\displaystyle \frac{dQ}{dt} \tag{・・・式（１６）}$$

式（１３）に式（１４）と式（１５）を代入すると $$\displaystyle \frac{Q}{C}+iR=0 \tag{・・・式（１７）}$$ 式（１７）の i を式（１６）で置き換えると

式（１９）の両辺を $Q$で割ります。

次は、式（２１）の様に右辺の関数ｙが二乗になっている場合ですが、両辺をｙの自乗で割って、関数ｙを左辺に移し、右辺は定数ｋだけにして、積分公式を使って解きます。 $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=ky^{2} \tag{・・・式（２１）}$$ 変数分離をするために両辺を $y^{2}$ で割ります。