全微分 要素の誤差が結果に耐える影響 振り子の誤差
微分
全微分に入る前に、使い慣れている１変数の微分について
$y=f(x)$が微分可能なとき、平均値の定理により
$$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f\prime(c)$$
ただし、$h→0$ 、$x\lt c \lt x+h$
$$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f\prime(x)+ε$$
$$f(x+h)-f(x)=f\prime(x)h+εh$$
$h\gg εh$なので
$$f(x+h)-f(x) \fallingdotseq f\prime(x)h$$
$f\prime(x)h$を微分と言い、$dy$で表し、$h=dx$なので$dy=f\prime(x)dx$
$$\dfrac{dy}{dx}=f\prime(x)$$
微分表記 $dy/dx$を変数の様に扱えるのも微分が上記の様に求められるからです。
全微分
本題の微分可能な２変数関数 $z=f(x,y)$で考えてみます。
この関数は、連続な偏導関数$f_{x}(x,y)$と$f_{y}(x,y)$を持ちます。
偏導関数は、一つの変数だけに着目し、他の変数は定数として微分して得られます。
$f_{x}(x,y)$は、$y$を定数として$f(x,y)$を$x$について微分するという意味で、
$$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$と同じ意味です。
$⊿x$と$⊿y$に対する関数の増分$⊿z$は、
$$⊿z=f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y)\tag{式１}$$
式１右辺を展開して
$$⊿z=\{f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y)\}+\{f(x,y+⊿y)-f(x,y)\}\tag{式２}$$
式１右辺１番目の$\{\}$内は平均値の定理によって
$$f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y)=⊿xf_{x}(x+k_{1}⊿x,y+⊿y)\tag{式３}$$
ただし、$k_{1}$は定数同じように、式２右辺２番目の$\{\}$内は平均値の定理によって
$$f(x,y+⊿y)-f(x,y)=⊿y f_{y}(x,y+k_{2}⊿y)\tag{式４}$$
ただし、$k_{2}$は定数ここで、
$$f_{x}(x+k{1}⊿x,y+⊿y)=f_{x}(x,y)+ε_{1}\tag{式５}$$
$$f_{y}(x,y+k_{2}⊿y)=f_{y}(x,y)+ε_{2}\tag{式６}$$
として、
式３と式５を結合して
$$f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y)=⊿x f_{x}(x,y)+⊿x ε_{1}\tag{式７}$$
式４と式６を結合して
$$f(x,y+⊿y)-f(x,y)=⊿y f_{y}(x,y)+⊿y ε_{2}\tag{式８}$$
$⊿x$と$⊿y$に対する関数の増分$⊿z$は、
$$⊿z=\{f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y)\}+\{f(x,y+⊿y)-f(x,y)\}\tag{式２}$$
でしたから、式２に式７と式８を入れて
$$⊿z=⊿x f_{x}(x,y)+⊿x ε_{1}+⊿y f_{y}(x,y)+⊿y ε_{2}\tag{式８}$$
式８において、$⊿x→0\hspace{10pt} ⊿y→0$なので、$ε_{1}→0\hspace{10pt}ε_{2}→0$、ゆえに$⊿x ε_{1}$と$⊿y ε_{2}$は限りなく$0$になるので
$$⊿z \fallingdotseq⊿x f_{x}(x,y)+⊿y f_{y}(x,y)\tag{式９}$$
式９の右辺を全微分と言います
全微分の利用
単振り子の周期$T$は、振り子の長さ$l$、重力加速度$g$とすると
$$T=2π\sqrt(\dfrac{l}{g})\tag{式１０}$$
で求められますが、$l$と$g$が極少し違った時の誤差を求めます。
変数$l$を$g$で割り、それが２分の１乗なので対数をとった方が計算しやすいようです
$$\log T=\log(2π)+\dfrac{1}{2}(\log l-\log g)\tag{式１１}$$
式１１を全微分します。
$$\dfrac{1}{T}dT=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{l}dl-\dfrac{1}{g}dg)\tag{式１２}$$
ここで、$dT=⊿T\hspace{10pt} dl=⊿l\hspace{10pt} dg=⊿g$
$$\dfrac{⊿T}{T}\fallingdotseq\dfrac{1}{2}(\dfrac{⊿l}{l}-\dfrac{⊿g}{g})\tag{式１３}$$
相対誤差の最大値は絶対値を求めて
$$\dfrac{|⊿T|}{T}\fallingdotseq\dfrac{1}{2}(\dfrac{|⊿l|}{l}+\dfrac{|⊿g|}{g})\tag{式１３}$$
式１３で単振り子の誤差の最大値が求まりました