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全微分 要素の誤差が結果に耐える影響 振り子の誤差

微分

全微分に入る前に、使い慣れている1変数の微分について
$y=f(x)$が微分可能なとき、平均値の定理により $$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f\prime(c)$$ ただし、$h→0$ 、$x\lt c \lt x+h$

$$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f\prime(x)+ε$$ $$f(x+h)-f(x)=f\prime(x)h+εh$$
$h\gg εh$なので
$$f(x+h)-f(x) \fallingdotseq f\prime(x)h$$
$f\prime(x)h$を微分と言い、$dy$で表し、$h=dx$なので$dy=f\prime(x)dx$ $$\dfrac{dy}{dx}=f\prime(x)$$ 微分表記 $dy/dx$を変数の様に扱えるのも微分が上記の様に求められるからです。

全微分

本題の微分可能な2変数関数 $z=f(x,y)$で考えてみます。
この関数は、連続な偏導関数$f_{x}(x,y)$と$f_{y}(x,y)$を持ちます。
偏導関数は、一つの変数だけに着目し、他の変数は定数として微分して得られます。
$f_{x}(x,y)$は、$y$を定数として$f(x,y)$を$x$について微分するという意味で、 $$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$と同じ意味です。

$⊿x$と$⊿y$に対する関数の増分$⊿z$は、

$$⊿z=f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y)\tag{式1}$$
式1右辺を展開して
$$⊿z=\{f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y)\}+\{f(x,y+⊿y)-f(x,y)\}\tag{式2}$$
式1右辺1番目の$\{\}$内は平均値の定理によって
$$f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y)=⊿xf_{x}(x+k_{1}⊿x,y+⊿y)\tag{式3}$$
ただし、$k_{1}$は定数
同じように、式2右辺2番目の$\{\}$内は平均値の定理によって
$$f(x,y+⊿y)-f(x,y)=⊿y f_{y}(x,y+k_{2}⊿y)\tag{式4}$$
ただし、$k_{2}$は定数

ここで、

$$f_{x}(x+k{1}⊿x,y+⊿y)=f_{x}(x,y)+ε_{1}\tag{式5}$$ $$f_{y}(x,y+k_{2}⊿y)=f_{y}(x,y)+ε_{2}\tag{式6}$$
として、 式3と式5を結合して
$$f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y)=⊿x f_{x}(x,y)+⊿x ε_{1}\tag{式7}$$
式4と式6を結合して
$$f(x,y+⊿y)-f(x,y)=⊿y f_{y}(x,y)+⊿y ε_{2}\tag{式8}$$

$⊿x$と$⊿y$に対する関数の増分$⊿z$は、

$$⊿z=\{f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y)\}+\{f(x,y+⊿y)-f(x,y)\}\tag{式2}$$
でしたから、式2に式7と式8を入れて
$$⊿z=⊿x f_{x}(x,y)+⊿x ε_{1}+⊿y f_{y}(x,y)+⊿y ε_{2}\tag{式8}$$
式8において、$⊿x→0\hspace{10pt} ⊿y→0$なので、$ε_{1}→0\hspace{10pt}ε_{2}→0$、ゆえに$⊿x ε_{1}$と$⊿y ε_{2}$は限りなく$0$になるので
$$⊿z \fallingdotseq⊿x f_{x}(x,y)+⊿y f_{y}(x,y)\tag{式9}$$
式9の右辺を全微分と言います

全微分の利用

単振り子の周期$T$は、振り子の長さ$l$、重力加速度$g$とすると $$T=2π\sqrt(\dfrac{l}{g})\tag{式10}$$ で求められますが、$l$と$g$が極少し違った時の誤差を求めます。
変数$l$を$g$で割り、それが2分の1乗なので対数をとった方が計算しやすいようです

$$\log T=\log(2π)+\dfrac{1}{2}(\log l-\log g)\tag{式11}$$
式11を全微分します。
$$\dfrac{1}{T}dT=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{l}dl-\dfrac{1}{g}dg)\tag{式12}$$
ここで、$dT=⊿T\hspace{10pt} dl=⊿l\hspace{10pt} dg=⊿g$
$$\dfrac{⊿T}{T}\fallingdotseq\dfrac{1}{2}(\dfrac{⊿l}{l}-\dfrac{⊿g}{g})\tag{式13}$$
相対誤差の最大値は絶対値を求めて
$$\dfrac{|⊿T|}{T}\fallingdotseq\dfrac{1}{2}(\dfrac{|⊿l|}{l}+\dfrac{|⊿g|}{g})\tag{式13}$$
式13で単振り子の誤差の最大値が求まりました