三角関数- 正弦定理の使い方 距離を測る
最も解りやすい三角関数の使い方は、遠くの点までの距離を測る問題（三角測量）だと思います。
下記図において、$A$ 点から $D$ 点までの距離 $x$ を求めることにします。
測量して判明しているのは。辺ａの長さと∠ＡＢＣの角度α、∠ＡＣＤの角度βです
正弦定理によると、∠ＡＢＣの角度αと辺ｂ、∠ＢＡＣの角度と辺ａの間には次の関係があります。
$$\dfrac{b}{\sin{\alpha}}=\dfrac{a}{\sin{\gamma}}\tag{1}$$
角度 $\gamma$ は三角形の内角の和が $\pi$ であることから
$$\pi=\gamma+\alpha+(\pi-\beta)$$
$$\gamma=\beta-\alpha$$
式１から辺ｂは
$$b=a\dfrac{\sin\alpha}{\sin\gamma}$$
求めたい $x$ は
$$x=b\sin\beta=a\dfrac{\sin{\beta}\sin{\alpha}}{\sin{\gamma}}$$
よって求めたい $x$ は、角度 $\gamma$ を戻して
$$x=a\dfrac{\sin{\beta}\sin{\alpha}}{\sin{(\beta-\alpha)}}$$
現在の測量では、レーザーを使った距離測定を行っているので、角度を測るのでは無くて三角形の辺の長さから求めています
正弦定理の説明
上記では、三角測量で三角形の正弦定理を使った求め方を説明しましたが、
正弦定理には、三角形の外接円の直径が辺の長さとその辺が対応する角度のsinの比に等しいという性質があります。
上図の三角形ＡＢＣが外接する円の半径 $R$ の２倍の直径とには次の関係があります。
$$\dfrac{a}{\sin{\alpha}}=\dfrac{b}{\sin{\beta}}=\dfrac{c}{\sin{\gamma}}=2R\tag{2}$$