水時計の作り方

水時計 は水の入った器から水を流し、その水の量で時間を計るものです（または、減った水量で計るものです） が、これが難しいのです。
水時計の重要な点は、水が流れ出る量を常に一定にすることなのですが、 浴槽から水を抜くときに水がたくさん入っている始めは早く水位が下がりますが、 浴槽内の水が少なくなるにつれて水位の下がり方が遅くなってしまうので解りますが、水量は一定にならないのです。

水槽を多段にした水時計

水時計は、日本では「漏刻 （ろうこく）」とも呼ばれ、天智天皇（７世紀中）によってつくられたと伝えられています。
天智天皇の水時計は下図の様に水が出る容器を幾つも重ねています。

この水時計は小さい孔を開けた容器を多段にすることによって、上図で示した容器の水面と水が出る孔の間隔 h1,h2,h3が　h1>h2>h3 となるように工夫する事によって、最終的に一定時間に流れ出る水量を一定にしています。

空気圧を利用した水時計

下図の様な容器を作ります。 水の出る量が一定になる理屈は 容器から一定の速度で水が出るマリオットの器

容器Ａに蓋をして、パイプを通してだけ空気が入るようにしたところが重要です。
容器Ａ，容器Ｂは工作用に売られている太いアクリルパイプやアクリル板で作れば簡単で見栄えもいいですが、容器Ａはペットボトル、細いパイ プは観賞魚を買うときに空気ポンプに接続するビニールパイプなど、色々、試してみてください。
但し、水を出す孔は小さくします。また、時間を目盛る容器は断面積が一定でないと、水の量と高さが比例しないので目盛りが不均一になってしまうので気をつけましょう。
出た水の量で測るなら容器Ｂに時間目盛りを刻みます。

水槽の形を工夫した水時計

底に小さな孔を開けた下図の様な形の容器の水位を測ると水時計になります。

一見すると、ただの容器なので浴槽の水を抜くときと同じ様に始めは早く出てだんだんと遅く出るようになる気がしますが、容器の高さｙを変数に、容器を真上から見た半径ｒを、ｒ＝αｙ＾1/4　として形作った容器は、水が底に開けた小さな孔から出ることによる水位の低下と時間が比例します。ただし、αは定数です。

下図の様な任意の形の容器を考えてみます。

容器の底の小さな孔の開口面積をｓ、そこから流れ出る水の速度をｖとすると、極短い時間ｄｔの間に流れ出る水の量は、ｓｖｄｔとなります.
他方、容器の底からの高さｙでの容器を真上から見た面積をS(y)、極短い時間ｄｔの間に下がった水をｄｙとすると、水位が下がったことによる水量の低下は、S(y)ｄｙとなります.
極短い時間ｄｔの間に流れ出た水の量と容器の水位が下がった水量は同じなので
ｓｖｄｔ＝S(y)ｄｙ ・・・式１
容器に開いた小さな孔から出る水の速度ｖは、トリチェリの法則から
ｖ＝√（２ｇｙ）　・・・式２
式１と式２から
ｓ√（２ｇｙ）ｄｔ＝S(y)ｄｙ
ｄｔ＝S(y)ｄｙ/（ｓ√（２ｇｙ））・・・式３
式３を積分して、ｔ＝ｋｙ　となるS(y)を探すと、容器の高さｙを変数として、その高さでの開口半径ｒ＝αｙ＾(1/4)となる容器になります。ただし、ｋとαは定数です。